अध्याय 14: दोलन (Oscillations)

परिचय

**दोलन** या कंपन (vibration) एक प्रकार की आवर्त गति (periodic motion) है जिसमें कोई वस्तु एक निश्चित साम्यावस्था बिंदु (equilibrium position) के आगे-पीछे गति करती है। दैनिक जीवन में दोलन के कई उदाहरण हैं, जैसे झूले की गति, घड़ी के पेंडुलम की गति, गिटार के तार का कंपन, और परमाणु की गति। यह अध्याय दोलन गति के मूलभूत सिद्धांतों, विशेष रूप से **सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM)**, अवमंदित दोलनों (damped oscillations), प्रणोदित दोलनों (forced oscillations), और अनुनाद (resonance) पर ध्यान केंद्रित करेगा।

14.1 आवर्त गति (Periodic Motion)

**आवर्त गति** वह गति है जो निश्चित समय अंतरालों पर स्वयं को दोहराती है। इन समय अंतरालों को **आवर्तकाल (Time Period - T)** कहते हैं। आवर्त गति के कुछ उदाहरण ग्रहों की सूर्य के चारों ओर गति, घड़ी की सुइयों की गति, और एक स्प्रिंग से बंधे द्रव्यमान का दोलन हैं।

• **आवर्तकाल (T):** एक पूर्ण दोलन या चक्र को पूरा करने में लगने वाला समय। SI इकाई सेकंड (s)।
• **आवृत्ति (Frequency - $\nu$):** प्रति इकाई समय में पूर्ण किए गए दोलनों की संख्या। यह आवर्तकाल का व्युत्क्रम होता है: $\nu = 1/T$। SI इकाई हर्ट्ज़ (Hz)।
• **कोणीय आवृत्ति (Angular Frequency - $\omega$):** $2\pi$ से गुणा की गई आवृत्ति, या $2\pi/T$। इसकी SI इकाई रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) है।

14.2 सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM)

**सरल आवर्त गति** एक विशेष प्रकार की आवर्त गति है जिसमें प्रत्यानयन बल (restoring force) विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होता है और हमेशा साम्यावस्था बिंदु की ओर निर्देशित होता है। यह हुक के नियम का पालन करती है: $F = -kx$, जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल, $k$ बल नियतांक, और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।

SHM का अवकल समीकरण (differential equation) निम्न है: $$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 $$ इसका हल एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) फलन है: $$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$ जहाँ:

• $x(t)$ समय $t$ पर कण का विस्थापन है।
• $A$ **आयाम (Amplitude)** है (साम्यावस्था से अधिकतम विस्थापन)।
• $\omega = \sqrt{k/m}$ **कोणीय आवृत्ति** है।
• $\phi$ **आरंभिक कला (Initial Phase)** या कला नियतांक है।

14.3 SHM में वेग और त्वरण (Velocity and Acceleration in SHM)

SHM में कण का वेग ($v$) और त्वरण ($a$) समय के साथ बदलते रहते हैं:

• **वेग:** $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$
  • अधिकतम वेग साम्यावस्था बिंदु पर होता है: $v_{max} = A\omega$।
  • न्यूनतम वेग (शून्य) चरम स्थितियों पर होता है।
• **त्वरण:** $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)$
  • अधिकतम त्वरण चरम स्थितियों पर होता है: $a_{max} = A\omega^2$।
  • न्यूनतम त्वरण (शून्य) साम्यावस्था बिंदु पर होता है।

14.4 SHM में ऊर्जा (Energy in SHM)

SHM में गतिमान कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है (घर्षण अनुपस्थित होने पर)।

• **स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy - PE):** एक प्रत्यास्थ बल के विरुद्ध कार्य करने के कारण संचित ऊर्जा। $$ PE = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi) $$
• **गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy - KE):** गति के कारण ऊर्जा। $$ KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi) $$
• **कुल ऊर्जा (Total Energy - E):** $$ E = KE + PE = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 (\sin^2(\omega t + \phi) + \cos^2(\omega t + \phi)) $$ $$ E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}kA^2 $$ कुल ऊर्जा आयाम के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है और समय के साथ स्थिर रहती है।

14.5 सरल लोलक (Simple Pendulum)

**सरल लोलक** एक आदर्श निकाय है जिसमें एक द्रव्यमानहीन, अदृश्य डोरी से निलंबित एक बिंदु द्रव्यमान (बॉब) होता है, जो गुरुत्वाकर्षण के तहत दोलन करता है। छोटे कोणों के लिए, सरल लोलक की गति सरल आवर्त गति होती है।

सरल लोलक का आवर्तकाल ($T$) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$ जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। यह सूत्र दर्शाता है कि आवर्तकाल बॉब के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल लंबाई और गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है।

14.6 अवमंदित सरल आवर्त गति (Damped Simple Harmonic Motion)

वास्तविक प्रणालियों में, दोलन करने वाली वस्तुएँ हमेशा घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे प्रतिरोधक बलों का अनुभव करती हैं। ये बल दोलन की ऊर्जा को कम करते हैं, जिससे आयाम समय के साथ धीरे-धीरे कम होता जाता है। इस प्रकार के दोलनों को **अवमंदित दोलन** कहते हैं।

अवमंदन बल आमतौर पर वेग के अनुक्रमानुपाती होता है: $F_d = -bv$, जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है। अवमंदित दोलन का आयाम चरघातांकी रूप से क्षय होता है।

14.7 प्रणोदित दोलन और अनुनाद (Forced Oscillations and Resonance)

**प्रणोदित दोलन** तब होते हैं जब एक दोलक को एक बाहरी, आवर्तक बल द्वारा उसकी अपनी प्राकृतिक आवृत्ति के अलावा किसी अन्य आवृत्ति पर दोलन करने के लिए मजबूर किया जाता है। बाहरी बल की आवृत्ति को **प्रणोदक आवृत्ति (Driving Frequency)** कहते हैं।

**अनुनाद (Resonance)** एक विशेष परिघटना है जो तब होती है जब प्रणोदक आवृत्ति दोलक की प्राकृतिक आवृत्ति (जिस पर वह बिना किसी बाहरी बल के दोलन करता है) के बराबर हो जाती है। इस स्थिति में, दोलक का आयाम नाटकीय रूप से बढ़ जाता है, जिससे बहुत बड़े आयाम के दोलन उत्पन्न होते हैं। अनुनाद के उदाहरणों में झूले को सही समय पर धक्का देना, रेडियो को एक विशेष आवृत्ति पर ट्यून करना, और सेना के सैनिकों को पुल पर कदमताल न करने का निर्देश देना (ताकि पुल की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ अनुनाद न हो और पुल ढहने का खतरा न हो) शामिल हैं।