अध्याय 9: ठोसों के यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Solids)

परिचय

इस अध्याय में हम ठोस पदार्थों के उन गुणों का अध्ययन करेंगे जो उन पर लगाए गए बलों के कारण उनमें होने वाले विकृतियों से संबंधित हैं। ठोसों के ये यांत्रिक गुण विभिन्न इंजीनियरिंग और वैज्ञानिक अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं, जैसे कि पुलों का डिज़ाइन, मशीनी पुर्जों का निर्माण, और विभिन्न सामग्रियों की ताकत और लचीलेपन को समझना। हम प्रतिबल (stress), विकृति (strain), हुक का नियम (Hooke's law) और प्रत्यास्थता गुणांक (moduli of elasticity) जैसी अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

9.1 प्रत्यास्थता (Elasticity)

**प्रत्यास्थता** किसी पदार्थ का वह गुण है जिसके कारण वह अपने आकार और आयाम को पुनः प्राप्त कर लेता है जब उस पर से बाहरी बल हटा दिया जाता है। इस गुण को प्रदर्शित करने वाले पदार्थों को **प्रत्यास्थ पदार्थ (Elastic Materials)** कहते हैं। जब बाहरी बल हटा दिया जाता है और वस्तु अपने मूल आकार में वापस नहीं आती है, तो उसे **अप्रत्यास्थ या प्लास्टिक पदार्थ (Plastic Materials)** कहते हैं।

• **विरूपण बल (Deforming Force):** वह बल जो किसी वस्तु के आकार या आकृति को बदल देता है।
• **प्रत्यानयन बल (Restoring Force):** वह आंतरिक बल जो विरूपण बल के कारण उत्पन्न होता है और वस्तु को उसके मूल आकार में वापस लाने की कोशिश करता है।

9.2 प्रतिबल (Stress)

**प्रतिबल** आंतरिक प्रत्यानयन बल प्रति इकाई अनुप्रस्थ-काट क्षेत्र है जो एक वस्तु के अंदर उत्पन्न होता है जब उस पर विरूपण बल लगाया जाता है। $$ \text{प्रतिबल (Stress)} = \frac{\text{प्रत्यानयन बल (Restoring Force)}}{\text{क्षेत्रफल (Area)}} = \frac{F}{A} $$ प्रतिबल की SI इकाई **न्यूटन प्रति वर्ग मीटर (N/m$^2$)** या **पास्कल (Pa)** है।

प्रतिबल विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं:

• **अनुदैर्ध्य प्रतिबल (Longitudinal Stress):** जब बल लंबाई के अनुदिश लगाया जाता है।
  • **तनन प्रतिबल (Tensile Stress):** जब लंबाई बढ़ती है।
  • **संपीडक प्रतिबल (Compressive Stress):** जब लंबाई घटती है।
• **आयतन प्रतिबल या द्रवचालित प्रतिबल (Volumetric Stress or Hydraulic Stress):** जब बल वस्तु के आयतन में परिवर्तन करता है (जैसे द्रव के अंदर)।
• **अपरूपण प्रतिबल या स्पर्शरेखीय प्रतिबल (Shearing Stress or Tangential Stress):** जब बल वस्तु के आकार को बदलता है (कोण बनाता है) बिना आयतन में परिवर्तन किए।

9.3 विकृति (Strain)

**विकृति** प्रतिबल के कारण वस्तु के आयामों में होने वाले सापेक्ष परिवर्तन का माप है। यह एक आयामहीन राशि है (कोई इकाई नहीं)। $$ \text{विकृति (Strain)} = \frac{\text{आयाम में परिवर्तन (Change in Dimension)}}{\text{मूल आयाम (Original Dimension)}} $$ विकृति भी प्रतिबल के प्रकार के अनुसार विभिन्न प्रकार की होती है:

• **अनुदैर्ध्य विकृति (Longitudinal Strain):** लंबाई में परिवर्तन/मूल लंबाई ($\Delta L/L$)।
• **आयतन विकृति (Volumetric Strain):** आयतन में परिवर्तन/मूल आयतन ($\Delta V/V$)।
• **अपरूपण विकृति (Shearing Strain):** स्पर्शरेखीय बल के कारण उत्पन्न कोणीय विस्थापन ($\phi \approx x/L$)।

9.4 हुक का नियम (Hooke's Law)

**हुक का नियम** बताता है कि प्रत्यास्थता सीमा के भीतर, प्रतिबल विकृति के अनुक्रमानुपाती होता है। $$ \text{प्रतिबल (Stress)} \propto \text{विकृति (Strain)} $$ $$ \text{प्रतिबल (Stress)} = E \times \text{विकृति (Strain)} $$ जहाँ $E$ **प्रत्यास्थता गुणांक (Modulus of Elasticity)** है। यह गुणांक पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है और यह दर्शाता है कि पदार्थ कितना प्रत्यास्थ है।

प्रतिबल-विकृति वक्र (Stress-Strain Curve)

यह एक ग्राफ है जो प्रतिबल और विकृति के बीच के संबंध को दर्शाता है। यह किसी पदार्थ के यांत्रिक व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। वक्र के महत्वपूर्ण बिंदु हैं:

• **आनुपातिकता सीमा (Proportional Limit):** वह बिंदु जहाँ तक हुक का नियम मान्य होता है।
• **प्रत्यास्थता सीमा (Elastic Limit):** वह बिंदु जहाँ तक पदार्थ अपने मूल आकार में वापस आ सकता है।
• **उपज बिंदु (Yield Point):** वह बिंदु जिसके बाद विकृति प्रतिबल के अनुपात में तेजी से बढ़ती है (स्थायी विरूपण शुरू होता है)।
• **तनन सामर्थ्य (Tensile Strength):** अधिकतम प्रतिबल जो एक पदार्थ फ्रैक्चर से पहले झेल सकता है।
• **भंगुरता बिंदु या फ्रैक्चर बिंदु (Fracture Point):** वह बिंदु जहाँ पदार्थ टूट जाता है।

9.5 प्रत्यास्थता गुणांक (Moduli of Elasticity)

प्रत्यास्थता गुणांक प्रतिबल और विकृति के अनुपात होते हैं, जो विभिन्न प्रकार के प्रतिबलों और विकृतियों के अनुरूप होते हैं:

• **यंग मापांक (Young's Modulus - Y):** अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात। यह पदार्थ की तन्यता या संपीड़न के प्रतिरोध का माप है। $$ Y = \frac{\text{अनुदैर्ध्य प्रतिबल (Longitudinal Stress)}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति (Longitudinal Strain)}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} $$ इसकी SI इकाई पास्कल (Pa) है।
• **आयतन मापांक (Bulk Modulus - B):** आयतन प्रतिबल और आयतन विकृति का अनुपात। यह द्रवचालित संपीड़न के प्रतिरोध का माप है। $$ B = \frac{\text{आयतन प्रतिबल (Volumetric Stress)}}{\text{आयतन विकृति (Volumetric Strain)}} = \frac{-P}{\Delta V/V} $$ जहाँ $P$ दाब है। इसकी SI इकाई पास्कल (Pa) है।
• **अपरूपण मापांक या दृढ़ता मापांक (Shear Modulus or Modulus of Rigidity - G):** अपरूपण प्रतिबल और अपरूपण विकृति का अनुपात। यह पदार्थ के आकार में परिवर्तन के प्रतिरोध का माप है। $$ G = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल (Shearing Stress)}}{\text{अपरूपण विकृति (Shearing Strain)}} = \frac{F_t/A}{\phi} $$ इसकी SI इकाई पास्कल (Pa) है।

पॉइसन अनुपात (Poisson's Ratio - $\nu$)

यह अनुप्रस्थ विकृति (transverse strain) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) का अनुपात है जब किसी वस्तु को उसकी लंबाई के अनुदिश खींचा या संपीड़ित किया जाता है। $$ \nu = \frac{\text{अनुप्रस्थ विकृति (Transverse Strain)}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति (Longitudinal Strain)}} $$ यह एक आयामहीन राशि है।

9.6 प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (Elastic Potential Energy)

जब किसी प्रत्यास्थ पदार्थ को विकृत किया जाता है, तो उसमें प्रत्यानयन बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह किया गया कार्य पदार्थ में **प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा** के रूप में संचित हो जाता है। प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा का सूत्र है: $$ U = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल (Stress)} \times \text{विकृति (Strain)} $$ या यंग मापांक के संदर्भ में: $$ U = \frac{1}{2} Y (\text{विकृति})^2 $$ यह संचित ऊर्जा तब मुक्त होती है जब वस्तु अपने मूल आकार में वापस आती है।